ИННОВАЦИИ БИЗНЕСУ

Описание к ил № 19-045-03

Результат выполнения научно-исследовательской работы.

Большое развитие получили исследования осесимметричного нагружения тел вращения или бесконечных пространства и полупространства. Изучение осесимметричного поля напряжений является одной из наиболее развитых областей теории упругости, уступающей по достигнутым результатам только плоской задаче.

Особый интерес вызывают случаи локально приложенных нагрузок к плитам, опертым по контуру. Подобного рода ситуации весьма распространены в строительной практике и могут носить как статический, так и динамический характер. Например, складирование секций с кирпичом на перекрытии или удар поднимаемого груза о стену. Во всех указанных случаях действие нагрузки локализовано на незначительной части площади плиты, расположенной горизонтально или вертикально. Если для однородных плит при действии распределенной статической нагрузки решения имеются, то для слоистых плит при действии локальных нагрузок вопрос остается открытым.

В данной работе рассматривается напряженно-деформированное состояние толстых многослойных плит при действии локальной нагрузки. В качестве локальной нагрузки примем нагрузку типа=p, гдеr- координата плиты. Функцияf(r)подбирается таким образом, что действие ее локализовано на некоторой области радиусаr₁r(рис. 1).

Отнесем многослойную плиту к цилиндрической системе координат с началом в центре срединной плоскостиi-го слоя и с осьюoz, перпендикулярной этой плоскости. Радиус плиты обозначим черезa, а высоту каждого слоя - через 2h _i(рис. 2).

Рис. 1. Рис. 2.

При жесткой заделке цилиндрической поверхности должно выполняться равенство нулю радиальных перемещений и производной или при и , как того требует теория тонких плит. Поскольку мы имеем дело с толстой плитой, то необходимо выполнение и третьего условия на заделанной опоре - радиальные перемещения на контуре верхней и нижней плоскости плиты (слоя) должны быть равны нулю, т.е.

при и , (1)

где и - перемещения при нагружении цилиндрической поверхности радиальными силами соответственно равномерными и линейно распределенными дляi-го слоя связь между перемещением и и силами и для первой и второй простейших форм решения осесимметричной задачи может быть записана дляi-го слоя сплошной плиты:

; (2)

Рассмотрим изгиб круглой сплошной плиты состоящей изnслоев, приведенной на рис. 1, силамиp, приложенными по верхней поверхности первого слоя и изменяющимися по экспоненциальному закону . Согласно условиям (1), функция при (нижняя плоскость последнего,n-го слоя) и ; , (3)

при (верхняя плоскость).

На границах слоев потребуем выполнения условия связности, а именно при и

и . (4)

За функции и принимаем выражения, предложенные в работе [1] с учетом сложности

; (5)

.

Соответствующая (6) функция имеет вид:

(6)

Положив в (7) и с учетом (4) и (5) решая уравнения, определим значения постоянных:

; ; ; , (7)

где - толщина многослойной плиты.

Таким образом, форма функций напряжений и будет иметь вид:

;

; (8)

.

Связь между радиальными перемещениями и, нормальными и касательными напряжениями и функциями напряжений и для осесимметричных задач может быть выражена следующими зависимостями:

;

;

; (9)

;

.

Подставляя функции (8) в формулы (9), составим выражения для напряжений и перемещений. Постоянные находим при условии, что при и .

Однако эти выражения не являются окончательными, их необходимо дополнить значениями, соответствующими силами и , зависящими от характера закрепления цилиндрической поверхности плиты. В соответствии с поставленной задачей, каждый слой по цилиндрической поверхности имеет "жесткое" закрепление. По условиям (1) и (2) получим уравнения для определения сил и :

;

(10)

После составления выражений для напряжений и перемещений (10) присоединим их к ранее полученным:

;

;

;(11)

;

.

В формулах (10) и (11) под и подразумеваются интегралы, зависящие от нагрузки, вычисляемые численными методами.

В середине пролета напряжение на крайних плоскостях многослойной плиты примут значения:

, при (12)

, при .